Type and Content

Die Komplexitätstheorie klassifiziert algorithmische Probleme nach ihrem Berechnungsaufwand. Typische Aufwandsmaße sind Laufzeit und Speicherplatz. Die Probleme werden nach ihren Aufwandsschranken zu Komplexitätsklassen zusammengefasst.

Die bekanntesten Klassen sind P und NP (polynomielle Laufzeit) und PSPACE (polynomieller Platz). Betrachtet man auch andere Algorithmenarten wie probabilistische Algorithmen oder Approximationsalgorithmen, so ergeben sich weitere Qualitätsmaße und damit weitere Komplexitätsklassen.

Die Komplexitätstheorie versucht Ordnung in diesen "Zoo" von Komplexitätsklassen zu bringen.

Inbesondere wird untersucht:

1. Welche strukturellen Eigenschaften hat eine Klasse (zum Beispiel Abgeschlossenheit unter Reduktion)?
2. Gibt es Probleme maximaler Schwierigkeit in der Klasse (vollständige Probleme)?
3. Welche Inklusionen bestehen zwischen verschiedenen Komplexitätsklassen (gibt es zum Beispiel für jedes Problem in NP einen schnellen probabilistischen Algorithmus)?
4. Wie kann man Probleme, die schwierig sind (z.B. NP-vollständig), trotzdem sinnvoll algorithmisch behandeln (etwa mit Näherungs-, probabilistischen oder Fixed-Parameter-Algorithmen)?

Folgende Themen werden in der Vorlesung behandelt:

1. Abschlusseigenschaften von Platzklassen (Satz von Immerman-Szelepcsényi)
2. Reduktionen (Many-One, Turing, Truth-Table)
3. Vollständige Probleme für NP, P, PSPACE, NL
4. Approximationsalgorithmen für NP-vollständige Probleme (z.B. für TSP)
5. probabilistische Algorithmen
6. Teilinformationsalgorithmen (P-Selektivität)
7. Die Polynomielle Hierarchie zwischen NP und PSPACE
8. Fixed-Parameter-Algorithmen (z.B. für Vertex Cover)

• Ch. Papadimitriou; Computational Complexity, Addison Wesley, 1994.
• M. Garey, D. Johnson; Computers and Intractability, Freeman & Co., 1979.
• R. Reischuk; Einführung in die Komplexitätstheorie (2. Auflage), Teubner, 1999.

Lecture

Exercise